典型题1:已知函数f(x)满足f(x)=

时间:2014-09-20 14:24:03 来源:原创 作者:91数学网
摘要:2012全国课标理科高考题,求解函数解析式、单调区间和含有参数的函数中,参数式子的最大值问题。

典型题1:(2012全国课标理)已知函数\(f\left ( x \right )={f}'\left ( 1 \right )e^{x-1}-f\left ( 0 \right )x+\frac{1}{2}x^{2}\)。
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间;
(Ⅱ)若\(f\left ( x \right )\geq \frac{1}{2}x^{2}+ax+b\),求(a+1)b的最大值。

题目分析:
第一问,求“函数解析式”和“单调区间”是比较常见的题型,但是,这个题目有亮点。先说说“求解析式”:

  • 1. 一般“求解析式”是待定系数法,这一题以待定系数法的变形出现,假如把f'(1)和f(0)看成a和b,那么就变成我们所熟悉的“求解析式”题目。所以,本题第一问,求函数f(x)的解析式,就是要求f'(1)和f(0)
  • 2. 本题,很多同学马上会想到用特殊值代入条件所给的式子,然后希望联立求解得,但是解不出来,因为忽略了“导函数是一个隐含条件”。

本题求解单调区间,很多同学做完原函数求导之后,就郁闷了。事实上,“求解单调区间就是分析一阶导函数的正负”。本题,所得一阶导函数是\({f}'\left ( x \right )=e^{x}-1+x\)不能用常规方法,令f'=0解得;但是,f'是一个单调函数,只要找到一个特殊点,就很容易得到“一阶导函数的正负”

第二问,在第一问的基础上,求解最值。得到第一问的结果之后,在第一问的基础上开始思考,题目就变成含有参数的不等式,于是,我们需要将不等式变形,作为一个新函数,对该函数求导,再求其最值。这一问,考查“分类讨论”思想,而且,“分类讨论”的层次还不止一层,有两层;另一方面,题设中的(a+1)b在原来的条件中没有,需要在分类讨论中逐步显现出来。

解:(Ⅰ)由\(f\left ( x \right )={f}'\left ( 1 \right )e^{x-1}-f\left ( 0 \right )x+\frac{1}{2}x^{2}\),得,\({f}'\left ( x \right )={f}'\left ( 1 \right )e^{x-1}-f\left ( 0 \right )+x\)
令x=1,解得:f(0)=1
那么,\(f\left ( x \right )={f}'\left ( 1 \right )e^{x-1}-x+\frac{1}{2}x^{2}\)
令x=0,有,\(f\left ( 0 \right )={f}'\left ( 1 \right )e^{-1}\),即:\({f}'\left ( 1 \right )=e\)
于是有:\(f\left ( x \right )=e^{x}-x+\frac{1}{2}x^{2} \),\({f}'\left ( x \right )=e^{x}-1+x\)
令g(x)=f'(x),那么g'(x)=ex+1 > 0,也就是g(x)在x∈R上单调递增,且,f'(0)=0即: f'(x)>0,得,x > 0;f'(x) < 0 得,x < 0
故:\(f\left ( x \right )={f}'\left ( 1 \right )e^{x-1}-x+\frac{1}{2}x^{2}\),且单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0)

(Ⅱ)由\(f\left ( x \right )\geq \frac{1}{2}x^{2}+ax+b\),得,\(e^{x}-\left ( a+1\right )x-b\geq 0\)
令 \(h\left ( x \right )=e^{x}-\left ( a+1\right )x-b\),得, \({h}'\left ( x \right )=e^{x}-\left ( a+1 \right )\)
㈠ 当a+1<0时,\({h}'>0\),那么y=h(x)在x∈R上单调递增,但是,x→-∞时,h(x)→-∞,与h(x)≥ 0 矛盾;
㈡ 当a+1=0时,由\(e^{x}-b\geq 0\),得,b≤0
㈢ 当a+1 > 0 时,分下列情况讨论:
如果,h'(x) > 0 ,即\(e^{x}> a+1\),两边取对数,x > ln(a+1);
如果,h'(x) < 0 ,即\(e^{x}< a+1\),两边取对数,x < ln(a+1);
所以,当x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b ≥ 0
也就是,(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) ≥ (a+1)b (a+1 > 0)

令F(x) = x2-x2lnx(x > 0),那么,F'(x)=x(1-2lnx)
因为,如果F'(x) > 0,得,\(0\sqrt{e}\)
所以,当\(x=\sqrt{e}\)时,\(F\left ( x \right )_{max}=\frac{e}{2}\)
所以,当\(a=\sqrt{e}-1\),\(b=\frac{\sqrt{e}}{2}\)时,(a+1)b的最大值为\( \frac{e}{2}\)。
Tags:函数

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