在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形

时间:2014-12-12 19:02:09 来源:原创 作者:91数学网
摘要:在一个正方形ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O点为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足

典型题16:(北京市海淀区二模)在一个正方形ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O点为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足\(\vec{MQ}=\lambda \vec{MN}\)的实数λ的值有( )
A.0个               B.1个                C.2个               D.3个

正方体ABCD-A1B1C1D1 正方体ABCD-A1B1C1D1

解法一:线段D1Q与OP互相平分,则两线段共面,经分析可得只有OP在以O为顶点,A1B1C1D1为底面的四棱锥的侧面上,D1M,D1N才可以在四棱锥的侧面上。
符合题意的两种状态如图所示:

符合题意的两种图形符合题意的两种图形

解法二:以点D为原点,DA,DC,DD'分别为x,y,z轴空间直角坐标系设|AB|=2,则D1(0,0,2),M(2,1,0),N(1,2,0),O(1,1,0),则Q(2-λ,1+λ,0) D1Q中点为\(\left ( 1-\frac{\lambda }{2},\frac{1+\lambda }{2},1 \right )\),则P(1-λ,λ,2)
由点P为A1D1上的动点时,0≤1-λ≤2,λ=0,解得λ=0
由点P为A1B1上的动点时,1-λ=2,0≤λ≤2,无解
由点P为B1C1上的动点时,0≤1-λ≤2,λ=2,无解
由点P为D1C1上的动点时,1-λ=0,0≤λ≤2,解得λ=1

解法三:如图,QD1,OP的中点E,F的轨迹分别为直线C1与正方形C2,显然C1与C2有且仅有两个交点,可知λ的值有两个。

轨迹示意图轨迹示意图

Tags:立体几何 高考50题

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