某农场计划种植某种新作物

时间:2014-12-13 10:00:09 来源:原创 作者:91数学网
摘要:某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验。选取两大块地,每一块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙。

精选题17:(辽宁理)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验。选取两大块地,每一块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙。
(Ⅰ)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:

品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一个品种?

附:样本数据x1,x2,...,xn的样本方差\(s^{2}=\frac{1}{n}\left [ \left ( x_{1}-\bar{x}^{2} \right )+\left ( x_{2}-\bar{x}^{2} \right )+...+\left ( x_{n}-\bar{x}^{2} \right ) \right ]\),其中\(\bar{x}\)为样本平均数。

解:(Ⅰ)X可能的取值为0,1,2,3,4,且
\(P\left ( X=0 \right )=\frac{1}{C_{8}^{4}}=\frac{1}{70}\),\(P\left ( X=1 \right )=\frac{C_{1}^{4}\cdot C_{3}^{4}}{C_{8}^{4}}=\frac{8}{35}\),\(P\left ( X=2 \right )=\frac{C_{4}^{2}\cdot C_{4}^{2}}{C_{8}^{4}}=\frac{18}{35}\),\(P\left ( X=3 \right )=\frac{C_{4}^{3}\cdot C_{4}^{1}}{C_{8}^{4}}=\frac{8}{35}\),\(P\left ( X=4 \right )=\frac{1}{C_{8}^{4}}=\frac{1}{70}\)
即X的分布列为:

X 0 1 2 3 4
P 1/70 8/35 18/35 8/35 1/70

X的数学期望为E(X)=\(0\times \frac{1}{70}+1\times \frac{8}{35}+2\times \frac{18}{35}+3\times \frac{8}{35}+4\times \frac{1}{70}=2\)

(Ⅱ) 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
\(\bar{x_{jia}}=\frac{1}{8}\left ( 403+397+390+404+388+400+412+409 \right )\), \(S_{jia}^{2}=\frac{1}{8}=\left [ 3^{2}+\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -10 \right )^{2}+4^{2}+\left ( -12 \right )^{2}+0^{2}+12^{2}+6^{2} \right ]=57.25\)
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:
\(\bar{x_{yi}}=\frac{1}{8}\left ( 419+403+412+418+408+423+400+413 \right )=412\), \(S_{yi}^{2}=\frac{1}{8}=\left [ 7^{2}+\left ( -9 \right )^{2}+0^{2}+6^{2}+\left ( -4 \right )^{2}+11^{2}+\left ( -12 \right )^{2}+1^{2} \right ]=56\)
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙。

Tags:统计 概率 高考50题

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