设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f'(x)

时间:2014-12-16 11:41:23 来源:原创 作者:91数学网
摘要:设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f'(x),      (Ⅰ) 求g(x)的单调区间和最小值;(Ⅱ) 讨论g(x)与g(1/x)的大小关系;(Ⅲ) 求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<1/a对任意x>0成立。

精选题21:(陕西文)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f'(x)。
(Ⅰ) 求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ) 讨论g(x)与g(1/x)的大小关系;
(Ⅲ) 求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<1/a对任意x>0成立。

分析:第一问先求出原函数f(x),再求得g(x),然后利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;第二问做差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负;第三问对任意x>0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题。

解:(Ⅰ)由题设知f(x)=lnx,\(g\left ( x \right )=lnx+\frac{1}{x}\),
所以,\({g}'\left ( x \right )=\frac{x-1}{x^{2}}\),令\({g}'\left ( x \right )=0\),得x=1.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)是减函数,故(0,1)是g(x)的单调减区间;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)是增函数,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间;
因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以g(x)的最小值为g(1)=1

(Ⅱ) \(g\left ( \frac{1}{x} \right )=-lnx+x\),设\(h\left ( x \right )=g\left ( x \right )-g\left ( \frac{1}{x} \right )=2lnx-x+\frac{1}{x}\),则
\({h}'\left ( x \right )=-\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{x^{2}}\)
当x=1时,h(1)=0,即\(g\left ( x \right )=g\left ( \frac{1}{x} \right )\);
当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h'(x)<0,因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减;
当0(1)=0,即\(g\left ( x \right )>g\left ( \frac{1}{x} \right )\)
当x>1时,因为x>1/x,所以\(g\left ( x \right )

(Ⅲ)由(Ⅰ)知道g(x)的最小值为1,所以,g(a)-g(x)<1/a,对任意x>0成立
等价于:g(a)-1<1/a,即lna<1,从而得0<a<e。

Tags:函数 导数 高考50题

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