椭圆常考点清单

时间:2014-08-23 23:07:39 来源:原创 作者:吴老师
摘要:椭圆的常考点清单上不能缺少的是:椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、椭圆的参数方程、点P和椭圆C的位置关系、焦半径、椭圆的焦点三角形、椭圆的焦点弦和弦长等等。

椭圆的常考点清单上不能缺少的是:椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、椭圆的参数方程、点P和椭圆C的位置关系、焦半径、椭圆的焦点三角形、椭圆的焦点弦和弦长等等。

一、椭圆的定义:
(1)把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距,符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。
(2)平面内,到定点F(c,0)的距离与直线L:x=a2/c的距离之比是常数c/a(a > c >0)的动点的轨迹叫做椭圆。定义的符号表示:|PF|:|PQ|=c:a。

二、椭圆的简单几何性质:

  焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 焦点在x轴的椭圆标准方程 焦点在y轴的椭圆标准方程
图形 焦点在x轴的椭圆图形 焦点在y轴的椭圆图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c)
对称性 关于x、y轴成轴对称,关于原点成中心对称
顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
范围 |x|<=a,|y|<=b |x|<=b,|y|<=a
长轴短轴 长轴A1A2长为2a,短轴B1B2长2b
离心率 椭圆的焦距与长轴长的比e=c/a
准线方程 x=±a2/c y=±a2/c

三、椭圆焦点在x轴的椭圆标准方程的参数方程是椭圆的参数方程(θ是参数)

四、点P(x0,y0)和椭圆的关系:
(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔(x02/a2+(y02/b2 < 1;
(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔(x02/a2+(y02/b2 = 1;
(3)P(x0,y0)在椭圆外⇔ (x02/a2+(y02/b2 > 1;

五、焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|
(1)焦点在x轴的椭圆标准方程,r1=a+ex0,r2=a-ex0
(2)焦点在y轴的椭圆标准方程,r1=a+ey0,r2=a-ey0

六、焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成三角形△F1PF2称为焦点三角形。∠F1PF2
(1)θ=arccos(2b2/r1r2-1),当r1=r2时,即P为短轴端点时,θ最大,且θmax=arccos(b2-c2)/a2
(2)S△PF1F2=0.5r1r2sinθ=(sinθ/1+cosθ)b2=b2·tanθ/2=c|y0|
当|y0|=b,即P为短轴端点时S△PF1F2最大,且最大值为bc。

七、焦点弦(过焦点的弦):AB为椭圆焦点在x轴的椭圆标准方程的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0)。则弦长l=2a±e(x1+x2)=2a±2ex0,通径最短lmin=(2b2)/a

八、AB为椭圆焦点在x轴的椭圆标准方程的弦。A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0)。
(1)弦长椭圆的弦长公式
(2)椭圆弦的斜率
(3)直线AB的方程:椭圆弦直线的方程
(4)直线AB的垂直平分线方程:椭圆弦AB的垂直平分线方程

Tags:解析几何

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