半角公式及其推导过程

时间:2014-09-16 22:05:27 来源: 作者:吴老师
摘要:半角公式和半角公式的推导过程。

半角公式是三角函数常用的公式之一,使用角x的余弦值求解其半角的正弦、余弦、正切等。半角公式的使用,关键是取得角x的余弦值。值得注意的是,半角公式得到结果,需要判断正负号,正负由\(\frac{x}{2}\)所在的象限决定。 半角公式即利用某个角(如A)的正弦、余弦、正切,及其他三角函数,来求其半角的正弦,余弦,正切,及其他三角函数的公式。

半角公式常用的有正弦、余弦、正切三个半角公式,具体如下:

正弦: \(sin\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\)

余弦: \(cos\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\)

正切: \(tan\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}\)     \(tan\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{sinx}=\frac{sinx}{1+cosx}\)

正面半角公式,常用的方法是,使用cos2x的倍角公式,即:\(cos2x=2cos^{2}x-1=1-2sin^{2}x\)具体如下:

正弦半角公式证明过程:
由余弦函数的二倍角公式有,\(cos2x=1-2sin^{2}x \),令\(x=\frac{x}{2}\),代入上式,有
\(cosx=1-2sin^{2}\frac{x}{2}\)
整理得
\(sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2}\)
两边开方得正弦函数的半角公式:
\(sin\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\)

余弦半角公式证明过程:
由余弦函数二倍角公式有,\(cos2x=2cos^{2}x-1\),令\(x=\frac{x}{2}\),代入上式,有
\(cosx=2cos^2{\frac{x}{2}}-1\)
整理得
\(cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1+cosx}{2}\)
两边开方得余弦函数的半角公式:
 \(cos\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\)

正切半角公式证明过程:
\(tan\frac{x}{2}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}\)
半角公式恒等式证明如下:
\(tan\frac{x}{2}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=\frac{2sin\frac{x}{2}*sin\frac{x}{2}}{2cos\frac{x}{2}*sin\frac{x}{2}}=\frac{1-cosx}{sinx}\)

\(tan\frac{x}{2}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=\frac{2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}}{2cos\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}}=\frac{sinx}{1+cosx}\)
所以有
\(\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{sinx}{1+cosx}\)

Tags:三角函数

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