设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x^2上

时间:2014-12-04 19:57:26 来源:原创 作者:91数学网
摘要:设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x^2上运动,点Q满足BQ=λQA,经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM=λMP,求点P的轨迹方程。

精选题5:(安徽理)设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足\( \vec{BQ}=\lambda \vec{QA} \),经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足\(\vec{QM}=\lambda \vec{MP}\),求点P的轨迹方程。

所求P的轨迹示意图所求P的轨迹示意图

解:由\(\vec{QM}=\lambda \vec{MP}\)
知道Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上,
故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),
则x2-y0=λ(y-x2),
则y0=(1+λ)x2-λy。— — ①
再设B(x1,y1),由\( \vec{BQ}=\lambda \vec{QA} \),
即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),
解得:\( \left\{\begin{matrix} x_{1}=\left ( 1+\lambda \right )x-\lambda \\ y_{1}=\left ( 1+\lambda \right )y_{0}-\lambda \end{matrix}\right.\) — — ②
将①式代入②式,消去y0,得
\(\left\{\begin{matrix} x_{1}=\left ( 1+\lambda \right )x-\lambda \\ y_{1}=\left ( 1+\lambda \right )^{2}-\lambda \left ( 1+\lambda \right )y-\lambda \end{matrix}\right.\) — — ③
又点B在抛物线y=x2上,所以y1=\( x_{1}^{2} \),
再将③式代入y1=\( x_{1}^{2} \),
得\( \left ( 1+\lambda  \right )^{2}x^{2}-\lambda \left ( 1+\lambda  \right )y-\lambda =\left [ \left ( 1+\lambda  \right ) x-\lambda \right ]^{2} \)
\( \left ( 1+\lambda  \right )^{2}x^{2}-\lambda \left ( 1+\lambda  \right )y-\lambda =\left ( 1+\lambda  \right )^{2}x^{2}-2\lambda \left ( 1+\lambda  \right )x+\lambda ^{2} \),
\(2\lambda \left ( 1+\lambda  \right )x-\lambda \left ( 1+\lambda  \right )y-\lambda \left ( 1+\lambda  \right )=0 \)
因为λ>0,同除以λ(1+λ),
得2x-y-1=0
故所求点P的轨迹方程为y=2x-1。

本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念、性质与运算,动点的轨迹方程等基本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养。

Tags:解析几何 高考50题

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