已知椭圆G:x^2/4+y^2=1过点(m,0)作圆C:

时间:2014-12-08 12:20:40 来源:原创 作者:91数学网
摘要:已知椭圆G:x^2/4+y^2=1过点(m,0)作圆C:x^2+y^2=1的切线l交椭圆G于A,B两点。

精选题15:(北京理)已知椭圆G:\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)过点(m,0)做圆C:\(x^{2}+y^{2}=1\)的切线l交椭圆G于A,B两点。
(Ⅰ) 求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(Ⅱ)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值。

解:(Ⅰ)由已知得a=2,b=1,所以\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3}\)
所以椭圆G的焦点坐标为:\(\left ( -\sqrt{3},0 \right ),\left ( \sqrt{3} ,0\right )\),离心率为:\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(Ⅱ)由题意得,|m|≥1。当m=1时,切线l的方程x=1,
点A、B的坐标分别为\(\left ( 1,\frac{\sqrt{3}}{2} \right ),\left ( 1,-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )\),此时|AB|=\(\sqrt{3}\)
当m=-1时,同理可得|AB|=\(\sqrt{3}\)
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m),
由\(\left\{\begin{matrix} y=k(x-m)\\ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 \end{matrix}\right.\),得\(\left ( 1+4k^{2} \right )x^{2}-8k^{2}mx+4k^{2}m^{2}-4=0\);设A、B两点的坐标分别为\(\left ( x_{1} ,y_{1}\right ),\left ( x_{2} ,y_{2}\right )\),则\(x_{1}+x_{2}=\frac{8k^{2}m}{1+4k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{4k^{2}m^{2}-4}{1+4k^{2}}\);
又由l与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)相切,得\(\frac{\left | km \right |}{\sqrt{k^{2}+1}}=1\),即\(m^{2}k^{2}=k^{2}+1\)。
所以|AB|=\(\sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}\)
=\(\sqrt{\left ( 1+k^{2} \right )\left [ \frac{64k^{4}m^{2}}{\left ( 1+4k^{2} \right )^{2}}-\frac{4\left ( 4k^{2}m^{2}-4 \right )}{1+4k^{2}} \right ]}\)
=\(\frac{4\sqrt{3}\left | m \right |}{m^{2}+3}\)。
因为|AB|=\(\frac{4\sqrt{3}\left | m \right |}{m^{2}+3}=\frac{4\sqrt{3}}{\left | m \right |+\frac{3}{\left | m \right |}}\leq 2\),
且当\(m=\pm \sqrt{3}\)时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.

Tags:解析几何 高考50题

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