已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若

时间:2014-12-16 16:30:38 来源:原创 作者:91数学网
摘要:已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f(π/6)|对x∈R恒成立,且f(π/2)>f(π),则f(x)的单调增区间是()

精选题22:(安徽理)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若\(f\left ( x \right )\leq \left | f\left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right |\)对x∈R恒成立,且f(π/2)>f(π),则f(x)的单调增区间是(  )
A.\(\left [ k\pi -\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{6} \right ]\left ( k\in Z \right )\)            B.\(\left [ k\pi,k\pi +\frac{\pi }{2} \right ]\left ( k\in Z \right )\)
C.\(\left [ k\pi+\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{2\pi }{3} \right ]\left ( k\in Z \right )\)              D.\(\left [ k\pi-\frac{\pi }{2},k\pi  \right ]\left ( k\in Z \right )\)

分析:本题考查正弦函数的有界性及正弦函数的单调性,属于中等偏难题。

解:若\(f\left ( x \right )\leq \left | f\left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right |\)对x∈R恒成立,
则\(\left | f\left ( \frac{\pi }{6} \right ) \right |=\left | \sin \left ( \frac{\pi }{3}+\varphi  \right ) \right |=1\),
所以\(\frac{\pi }{3}+\varphi = k\pi +\frac{\pi }{2},\varphi =k\pi +\frac{\pi }{6},k\in Z\)。
由\(f\left ( \frac{\pi }{2} \right )>f\left ( \pi  \right ),\left ( k\in Z \right )\)可知
\(\sin \left ( \pi +\varphi  \right )>\sin \left ( 2\pi +\varphi  \right )\),即sinφ < 0,所以\(\varphi =2k\pi +\frac{7\pi }{6},k\in Z\)。
代入f(x)=sin(2x+φ),得\(f\left ( x \right )=\sin \left ( 2x+2k\pi +\frac{7\pi }{6} \right )=\sin\left ( 2x+\frac{7\pi }{6} \right )=-\sin \left ( 2x+\frac{\pi }{6} \right )\)
令\(2k\pi +\frac{\pi }{2}\leq 2x+\frac{\pi }{6}\leq 2k\pi +\frac{2\pi }{3}\),得,\(k\pi +\frac{\pi }{6}\leq x\leq k\pi +\frac{2\pi }{3}\),所以选C。

Tags:三角函数 高考50题

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