已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0)

时间:2014-12-03 22:48:39 来源:原创 作者:91数学网
摘要:已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(Ⅰ)若a=1,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{an}唯一,求a的值。

精选题3:(江西理)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3。
(Ⅰ)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{an}唯一,求a的值。

(Ⅰ)设{an}的公比为q,则
b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2
由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+\(\sqrt{2}\),q2=2-\(\sqrt{2}\)。
所以{an}的通项公式an=(2+\(\sqrt{2}\))n-1或an=(2-\(\sqrt{2}\))n-1

(Ⅱ) 设{an}的公比为q,则又(2+aq)2=(1+q)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0--①
由a>0得△=4a2+4a>0,故方程①有两个不同的实根。
由{an}唯一,知方程①必有一根为0,代入①得a=\(\frac{1}{3}\)

Tags:数列 高考50题

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