等比数列{an}的各项均为正数,且2

时间:2014-12-07 21:53:42 来源:原创 作者:91数学网
摘要:(全国Ⅰ理)等比数列{an}的各项均为正数,且\(2a_{1}+3a_{2}=1\),\(a_{3}^{2}=9a_{2}a_{6}\)。(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设\(b_{n}={log_{3}}^{a_{1}}+{log_{3}}^{a_{2}}+...+{log_{3}}^{a_{n}}\),求数列\(\left \{ \frac{1}{b_{n}} \right \}\)的前n项和。

精选题13:(全国Ⅰ理)等比数列{an}的各项均为正数,且\(2a_{1}+3a_{2}=1\),\(a_{3}^{2}=9a_{2}a_{6}\)。
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设\(b_{n}={log_{3}}^{a_{1}}+{log_{3}}^{a_{2}}+...+{log_{3}}^{a_{n}}\),求数列\(\left \{ \frac{1}{b_{n}} \right \}\)的前n项和。

解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由\(a_{3}^{2}=9a_{2}a_{6}\),
所以q2=\(\frac{1}{9}\),
由条件可知q>0,故q=\(\frac{1}{3}\),
由\(2a_{1}+3a_{2}=1\)得\(2a_{1}+3a_{1}q=1\),
所以a1=\(\frac{1}{3}\)
故数列{an}的通项公式为\(a_{n}=\frac{1}{3^{n}}\)。

(Ⅱ)\(b_{n}={log_{3}}^{a_{1}}+{log_{3}}^{a_{2}}+...+{log_{3}}^{a_{n}}\)
=-(1+2+...+n)
=-\(\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}\)
故,\(\frac{1}{b_{n}}=-\frac{2}{n\left ( n+1 \right )}=-2\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )\)
\(\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{2}}+...+\frac{1}{b_{n}}=-2\left [ \left ( 1-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+...+\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right ) \right ]\)
=-\(\frac{2n}{n+1}\)。
所以\(\left \{ \frac{1}{b_{n}} \right \}\)的前n项和为-\(\frac{2n}{n+1}\)。

Tags:数列 高考50题

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