记等差数列{an}的前n项和为sn,已知

时间:2014-12-27 17:37:23 来源:原创 作者:91数学网
摘要:记等差数列{an}的前n项和为sn,已知a2+a4=6,s4=10.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;(Ⅱ) 令bn=an*2^n(n∈N),求数列{bn}的前n项和Tn

精选题23:记等差数列{an}的前n项和为sn,已知a2+a4=6,S4=10.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 令bn=an*2n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn

解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由a2+a4=6,S4=10,可得
\(\left\{\begin{matrix} 2a_{1}+4d=6\\ 4a_{1}+\frac{4\times 3}{2}d=10 \end{matrix}\right.\)  ,即,\(\left\{\begin{matrix} a_{1}+2d=3\\ 2a_{1}+3d=5 \end{matrix}\right.\)
解得,a1=1,d=1
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n

(Ⅱ) 由题意得,bn=an×2n=n×2n
所以,Tn=b1+b2+...+bn
=1×2+2×22+3×23+...+(n-1)2n-1+n×2n
又\(2T_{n}=1\times 2^{2}+2\times 2^{3}+3\times 2^{4}+...+\left ( n-1 \right )\cdot 2^{n}+n\cdot 2^{n+1}\)
两式相减得,\(-T_{n}=\left ( 2+2^{2} +2^{3}+...+2^{n-1}+2^{n}\right )-n\cdot 2^{n+1}\)
\(=\frac{2\left ( 1-2^{n} \right )}{1-2}=\left ( 1-n \right )\cdot 2^{n+1}-2\)
所以得,\(T_{n}=\left ( n-1 \right )\cdot 2^{n+1}+2\)

Tags:数列 高考50题

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