“立体几何”路在何方

时间:2016-09-02 23:48:46 来源: 作者:吴文中
摘要:高考数学中立体几何的核心内容是“立体几何初步”,这是必修部分的内容,它包含了两块内容:(1)空间几何体;(2)点、直线、平面之间的位置关系。还有就是选修部分的“几何证明选讲”,对应的是比较受同学欢迎的选做题。

高考数学中立体几何的核心内容是“立体几何初步”,这是必修部分的内容,它包含了两块内容:(1)空间几何体;(2)点、直线、平面之间的位置关系。还有就是选修部分的“几何证明选讲”,对应的是比较受同学欢迎的选做题。

一、立体几何初步

(1)空间几何体

①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些 特征描述现实生活中简单物体的结构.

②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画 出它们的直观图.

③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视 图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础 上,尺寸、线条等不作严格要求).

⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

(2)点、直线、平面之间的位置关系

①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推 理依据的公理和定理。

•公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上 所有的点都在此平面内。

•公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

•公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

•公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

•定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补。

②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空 间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

理解以下判定定理:

•如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线 与此平面平行。

•如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这 两个平面平行。

•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直 线与此平面垂直。

•如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直。

理解以下性质定理,并能够证明:

•如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。

•如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相 互平行。

•垂直于同一个平面的两条直线平行。

•如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与 另一个平面垂直。

③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

二、几何证明选讲

(1)了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理。

(2)会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

(3)会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理

(4)了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系了解平行 投影;会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。

(5)了解下面的定理。

定理: 在空间中,取直线l为轴,直线l’与l相交于点O,其夹角为α, l’围绕l旋转得到以O为顶点,l’为母线的圆锥面,任取平面π,若它 与轴l交角为β(π与l平行,记β= 0),则:

①β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆。

②β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线。

③β=α,平面π与圆锥的交线为双曲线。

(6)会利用丹迪林(Dandelin)双球(如下图所示,这两个球位于圆 锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥面均相切,其切点分别为E,F)证明上述定理①的情形:当β>α时,平面π与圆锥的交线为椭圆。(图中上、下两球与圆锥面相切的切点分别 为点B和点C,线段BC与平面π相交于点A. )

丹迪林(Dandelin)双球

(7)会证明以下结果:

①在(6)中,一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行.记这个圆 所在平面为π'。

②如果平面π与平面π'的交线为m,在(5)①中椭圆上任取一点A,该丹迪林球与平面π的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直 线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个 椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数e为离 心率)。

(8)了解定理(5)③中的证明,了解当β无限接近α时,平面π的 极限结果。

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