2016新课标1卷22题一题多解

时间:2016-08-27 09:28:25 来源:原创 作者:李科峰
摘要:本题考查几何最常见的平行和垂直,相对难度较小。

【2016年新课标1卷高考数学第22题·原题】

如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,二分之一OA为半径作圆.

(I)证明:直线AB与⊙O相切;

(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.

2016年新课标1卷高考数学第22题图示

【第一问解答】

(I)设圆的半径为r,作OE⊥AB于E.因为OA=OB,∠AOB=120°,
所以,OE⊥AB,∠A=30°,OE=OA,sin30°=OA/2=r,所以AB与∴AB与⊙O相切.

【第二问解答·解法一】

假设CD与AB不平行,CD与AB交于F.FE2=FC·FD

因为A,B,C,D四点共圆,所以,FC·FD=FA·FB=(FE-AE)(FE+BE)

因为AE=BE,所以FC·FD=FA·FB=(FE-AE)(FE+BE)=FE2-AE2

由①②可知矛盾,所以AB//CD

2016年新课标1卷高考数学第22题第二问解法一

【第二问解答·解法二】

因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T.因为OA=OB,TA=TB,

所以O,T为AB的中垂线上,同理OC=OD,TC=TD,所以OT为CD的中垂线,

所以AB//CD.

【第二问解答·解法三】

因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.

设O’是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO’.

由已知得O在线段的垂直平分线上,又O’在线段AB的垂直平分线上,

所以OO’⊥AB.同理可证,OO’⊥CD.所以AB//CD.

还可以这样证明:

(I)取AB中点P.因为△OAB是等腰三角形,所以OP⊥AB.

因为∠AOB=120°,所以∠AOP=∠BOP=60°.

所以OP=OA=r,所以AB与⊙O相切.

(II)设CD中点为Q,四边形ABCD外接圆圆心为O′.连结OC,OD,O′C,O′D.

由OC=OD,知OQ⊥CD.由O′C=O′D,知O′Q⊥CD.所以O′,O,Q三点共线.

同理,O,O′,P三点共线,所以Q,O,O′,P四点共线,

即PQ过点O,且PQ⊥AB, PQ⊥CD,所以AB//CD.

Tags:高考真题 几何

本站原创,转载请注明出处:http://wulaoshi.net/60/3761.htm

文/李科峰
作者背景
☆全国数学竞赛教练,河南省数学竞赛教练
相关文章
2016新课标1卷22题一题..
2016新课标I卷理科数学2..
2016新课标I卷文科数学1..
2016新课标I卷理科13题..
2016年高考天津卷理科数..
2016年天津文科高考第12..
家教分类
广州高三数学家教
广州高二数学家教
广州高一数学家教
广州初三数学家教
广州初二数学家教
广州初一数学家教